Question

【題目】已知圓M的圓心在直線x﹣2y+4=0上，且與x軸交于兩點(diǎn)A（﹣5，0），B（1，0）． （Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）求過點(diǎn)C（1，2）的圓M的切線方程；
（Ⅲ）已知D（﹣3，4），點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，求以AD，AP為一組鄰邊的平行四邊形的另一個(gè)頂點(diǎn)Q軌跡方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圓M與x軸交于兩點(diǎn)A（﹣5，0）、B（1，0）， ∴圓心在AB的垂直平分線上，即C在直線x=﹣2上．
由 ，解得 ，即圓心M的坐標(biāo)為（﹣2，1）．
∴半徑 ，
因此，圓M的方程為（x+2）2+（y﹣1）2=10．
（Ⅱ）∵點(diǎn)C（1，2）滿足（1+2）2+（2﹣1）2=10，
∴點(diǎn)C在圓M上，可得經(jīng)過點(diǎn)C與圓M相切的直線與CM垂直．
∵CM的斜率kCM= ，∴過點(diǎn)C的切線斜率為k= =﹣3，
由此可得過點(diǎn)C（1，2）的圓M的切線方程為y﹣2=﹣3（x﹣1），化簡(jiǎn)得3x+y﹣5=0．
（Ⅲ）設(shè)Q（x，y）、P（x0 ， y0），
∵四邊形ADQP為平行四邊形，∴對(duì)角線AQ、PD互相平分，即AQ的中點(diǎn)也是PD的中點(diǎn)．
即 ，解得
將P（x﹣2，y﹣4）代入圓M的方程，可得（x﹣2+2）2+（y﹣4﹣1）2=10，即x2+（y﹣5）2=10，
∴頂點(diǎn)Q在圓x2+（y﹣5）2=10上運(yùn)動(dòng)，
∵圓x2+（y﹣5）2=10交直線AD于點(diǎn)（﹣1，8）和（﹣3，4），
當(dāng)Q與這兩個(gè)點(diǎn)重合時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形ADQP，
∴頂點(diǎn)Q的軌跡方程為x2+（y﹣5）2=10，（點(diǎn)（﹣1，8）、（﹣3，4）除外）
【解析】（Ⅰ）根據(jù)圓的性質(zhì)，可得圓心M為AB垂直平分線與直線x﹣2y+4=0的交點(diǎn)．因此聯(lián)解兩直線的方程，得到圓心M的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式算出半徑r= ，即可得到圓M的方程；（Ⅱ）由于點(diǎn)C是圓M上的點(diǎn)，所以過點(diǎn)C的圓M的切線與CM垂直．因此利用直線的斜率公式算出CM的斜率，從而得到切線的斜率k=﹣3，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)即得所求切線的方程；（Ⅲ）設(shè)Q（x，y）、P（x0 ， y0），根據(jù)平行四邊形ADQP的對(duì)角線互相平分，利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式列式，解出P的坐標(biāo)為（x﹣2，y﹣4），代入圓M的方程化簡(jiǎn)可得x2+（y﹣5）2=10．最后根據(jù)構(gòu)成平行四邊形的條件，去除兩個(gè)雜點(diǎn)（﹣1，8）、（﹣3，4），即可得到頂點(diǎn)Q的軌跡方程．