Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且C與y軸交于兩點．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設P點是橢圓C上的一個動點且在y軸的右側，直線PA，PB與直線交于M，N兩點．若以MN為直徑的圓與x軸交于E，F兩點，求P點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的焦距為，可得，由可得 ，結合可得,進而可得結果；（2）設，可得，直線的方程為，同理得直線的方程為， 求得，，可得圓的方程為，利用這個圓與軸相交,方程有兩個不同的實數解，即可得結果．

試題解析：（Ⅰ）由題意可得，，所以,， 橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）設，，，

所以，直線的方程為，

同理得直線的方程為，

直線與直線的交點為，

直線與直線的交點為，線段的中點，

所以圓的方程為．

令，則， 因為，所以，

因為這個圓與軸相交,所以該方程有兩個不同的實數解，

則，又0，解得．

解法二:直線的方程為，與橢圓聯立得：，，

同理設直線的方程為可得，

由，可得，

所以，，的中點為，

所以為直徑的圓為．

時，，所以，

因為為直徑的圓與軸交于兩點，所以，

代入得：，所以，

所以在單增，在單減，所以．