Question

已知函數f(x)=

ax，(x＜0) (a-3)x+4a，(x≥0)

滿足對任意的實數x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．（3，+∞）
• B．（0，1）
• C．(0，

  1

  4

  ]
• D．（1，3）

Answer 1

分析：由題意可知，0＜a＜1，且a-3＜0，且4a≤1，解之即得答案．

解答：解：∵f(x)=

ax(x＜0) (a-3)x+4a(x≥0)

，對任意的實數x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，
∴函數f（x）在定義域內單調遞減，令g（x）=a^x，依題意，f（0）≤g（0），即4a≤1，
∴

0＜a＜1 a-3＜0 4a≤1

，解得0＜a≤

1

4

．
∴實數a的取值范圍是0＜a≤

1

4

．
故選C．

點評：本題考查函數單調性的性質及其應用，理解“對任意的實數x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立?函數f（x）在定義域內單調遞減”是關鍵，也是難點所在，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．