Question

（本題滿分14分）
數列，（）由下列條件確定：①；②當時，與滿足：當時，,；當時，，.
（Ⅰ）若，，寫出，并求數列的通項公式；
（Ⅱ）在數列中，若(,且)，試用表示；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設數列滿足，，
(其中為給定的不小于2的整數)，求證：當時，恒有.

Answer 1

（Ⅰ）解：因為，所以,.
因為,所以,.
因為,所以,.
所以.   …………………………………… 2分
由此猜想，當時,，則，.… 3分
下面用數學歸納法證明：
①當時，已證成立.                                            
②假設當（，且）猜想成立，
即，，.
當時，由，得，則，.
綜上所述，猜想成立.
所以.
故.      ……………………………………………… 6分
（Ⅱ）解：當時，假設，根據已知條件則有，
與矛盾，因此不成立，     …………… 7分
所以有，從而有，所以.           
當時，，,
所以;      …………………… 8分
當時，總有成立.
又，
所以數列()是首項為，公比為的等比數列, ，,
又因為，所以.  …………………………… 10分
（Ⅲ）證明：由題意得
.
因為，所以.
所以數列是單調遞增數列.           …………………………………… 11分
因此要證,只須證.
由，則<，即.…… 12分
因此
.
所以.
故當,恒有.      …………………………………………………14分
 

略