Question

已知

a

，

b

是非零向量，

a

與

b

的夾角為θ，當(dāng)

a

+t

b

（t∈R）的模取得最小值時(shí)．
（1）求t的值；
（2）若

a

與

b

同向共線，求證：

b

⊥(

a

+t

b

)．

Answer 1

分析：（1）由兩個(gè)向量的夾角，表示出兩個(gè)向量的模長然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求取得最小值時(shí)的t
（2）本題要證明兩個(gè)向量垂直，可通過向量的數(shù)量積為零來證明，求兩個(gè)向量數(shù)量積，根據(jù)上一問做出的結(jié)果，代入數(shù)量積的式子，即可證明

解答：（1）解：∵|

a

+t

b

|=

( a +t b )2

=

a 2+2t a • b +t2 b 2

=

a 2+2t| a || b |cosθ+ b 2

t²
=

b 2(t+ | a | | b | cosθ)2+| a |sin2θ

根據(jù)二次函數(shù)的知識可得，當(dāng)t=-

| a |

| b |

cosθ=-

| a || b |

| b |2

cosθ=

a • b

| b |2

×（-1）時(shí)，|

a

+t

b

|取得最小值．
（2）證明：

b

•(

a

+t

b

)=

b

•(

a

-

a • b

| b |2

•

b

)=

b

•

a

-

a • b

| b |2

•

b

2=

a

•

b

-

a

•

b

=0
∴

b

⊥(

a

+t

b

)．

點(diǎn)評：在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)．?