Question

如圖所示，四面體ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．

（1）求證：AD⊥BC；
（2）求二面角B—AC—D的余弦值．

Answer 1

（1）構造向量證明（2）

試題分析：（1）證明　作AH⊥平面BCD于H，連接BH、CH、DH，

易知四邊形BHCD是正方形，且AH＝1，以D為原
點，以DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，
以垂直于DB，的直線為z軸，建立空間直角坐
標系，如圖所示，則B(2,0,0)，C(0,2,0)，A(2,2,1)，   
所以＝，＝，  
因此·＝，所以AD⊥BC.       
（2）解：設平面ABC的法向量為n₁＝(x，y，z)，則由n₁⊥知：n₁·＝
同理由n₁⊥知：n₁·＝，
可取n₁＝，
同理，可求得平面ACD的一個法向量為       
∴〈n₁，n₂〉＝＝
即二面角B—AC—D的余弦值為   
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定方法，正確運用向量法解決面面角問題．