Question

如圖，旅客從某旅游區的景點處下山至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到，另一種從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到.現有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為 m/min，在甲出發2 min后，乙從乘纜車到，在處停留1 min后，再從勻速步行到. 假設纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路長1260 m ，經測量，，.

（1）求索道的長；
（2）問乙出發后多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？

Answer 1

（1）m   （2）   （3）（單位：m/min）

（1）在中，∵，，∴，，
從而.
由正弦定理，得，所以索道的長為1040（m）.
（2）假設乙出發分鐘后，甲、乙兩游客距離為，此時，甲行走了m，乙距離處m，
由余弦定理得，
∵，即，故當(min)時，甲、乙兩游客距離最短.
（3）由正弦定理，，得（m），乙從出發時，甲走了（m），還需要走（m）才能到達，
設乙步行的速度為m/min，由題意，，解得，
∴為使兩游客在處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在（單位：m/min）范圍內.
【考點定位】本小題主要考查正弦定理、余弦定理、二次函數的最值以及三角函數的基本關系、兩角和的正弦等基礎知識，考查數學閱讀能力和分析解決實際問題的能力.