Question

（理科加試題）若二項式(

2

3 x

+

x

)n的展開式中的常數項為第五項．
（1）求n的值；
（2）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為0，據題意當r=4時x的指數為0，代入求出n的值．
（2）將n的值代入通項，求出通項的系數，設第k+1項的系數最大，令其大于等于前一項的系數同時大于等于后一項的系數，利用組合數公式解不等式求出k的值，代入通項即可．

解答：解：（1）∵Tr+1=

C

r n

(

2

3 x

)n-r(

x

)r，
x的指數為-

n-r

3

+

r

2

=0，
∵(

2

3 x

+

x

)n的展開式中的常數項為第五項，
∴r=4，
解得：n=10．　
（2）∵Tr+1=

C

r 10

(

2

3 x

)10-r(

x

)r，
其系數為C₁₀^r•2^10-r．
設第k+1項的系數最大，則

C k 10 •210-k≥ C k+1 10 •29-k C k 10 •210-k≥ C k-1 10 •211-k

化簡得：

2(k+1)≥10-k 11-k≥2k

即

8

3

≤k≤

11

3

，
∴k=3，
即第四項系數最大，T4=

C

3 10

•27•x-

5

6

=15360x-

5

6

．

點評：解決二項展開式的特定項問題常利用的工具是二項展開式的通項公式；求二項展開式的項的最大系數問題，常令其大于等于前一項的系數同時大于等于后一項的系數，解不等式即可．