Question

【題目】已知函數 ， ，其中
（1）設函數 ，求函數 的單調區間；
（2）若存在 ，使得 成立，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

①當 時，即 時，在 上 ，在 上

所以 在 上單調遞減，在 上單調遞增；

②當 ，即 時，在 上 ，

所以，函數 在 上單調遞增

（2）解：若存在 ，使得 成立，即存在 ，使得 ，即函數 在 上的最小值小于零.

由（1）可知：

①當 ，即 時， ， 的 上單調遞減，

所以 的最小值為 ，

由 可得 ，

因為 ，所以 .

②當 ，即 時， 在 上單調遞增，

所以 最小值為 ，由 可得 .

③當 ，即 時，可得 的最小值為 ，

因為 ，所以， ，故 ，不合題意

綜上可得所求 的范圍是

【解析】（1）含參數的函數的單調性研究，通常要對參數的值進行分類討論。
（2）對于存在性問題與恒成立問題是有區別的，本題轉化為函數h(x)在區間[1,e]上的最小值小于零即可。
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．