Question

【題目】已知函數 .

（1）討論函數的定義域內的極值點的個數；

（2）若函數在處取得極值，恒成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）對求導，對進行分類討論，根據導數的正負，即可能求出函數在定義域內的極值點的個數；（2）由函數在處取得極值，可得，從而解得，恒成立等價于，構造，求得函數的單調性，即可得出，從而求得實數的最大值.

試題解析：（1）的定義域為，.

當時，在 上恒成立，函數f(x)在上單調遞減.

∴在(0，＋∞)上沒有極值點.

當時，由得.

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值.

綜上，當時，在上沒有極值點；

當時，在上有一個極值點.

(2) ∵函數在處取得極值，

∴，則，從而

∵恒成立

∴恒成立

令，則，由得，則在上遞減，在上遞增.

∴，故實數b的最大值是