Question

對于數列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改變A₁，僅改變A₂，A₃，…，A_n中部分項的符號，得到的新數列{a_n}稱為數列{A_n}的一個生成數列．如僅改變數列1，2，3，4，5的第二、三項的符號可以得到一個生成數列1，-2，-3，4，5．已知數列{a_n}為數列{

1

2n

}(n∈N*)的生成數列，S_n為數列{a_n}的前n項和．
（1）寫出S₃的所有可能值；
（2）若生成數列{a_n}的通項公式為an=

1 2n ，n=3k+1 - 1 2n ，n≠3k+1

，k∈N，求S_n；
（3）用數學歸納法證明：對于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．

Answer 1

分析：（1）依題意，可得a₂=±

1

4

，a₃=±

1

8

，從而可求得S₃的所有可能值；
（2）利用a_n=

1 2n ，n=3k+1 - 1 2n ，n≠3k+1

，k∈N，分n=3k、n=3k+1與n=3k+2（k∈N^*）討論，利用分組求和與等比數列的求和公式即可求得S_n；
（3）利用數學歸納法，①當n=1時，易證命題成立；②假設n=k時命題成立，去證明n=k+1時命題也成立即可．

解答：（1）由已知，a₁=

1

2

，|a_n|=

1

2n

（n∈N^*，n≥2），
∴a₂=±

1

4

，a₃=±

1

8

，
由于

1

2

+

1

4

+

1

8

=

7

8

，

1

2

+

1

4

-

1

8

=

5

8

，

1

2

-

1

4

+

1

8

=

3

8

，

1

2

-

1

4

-

1

8

=

1

8

∴S₃可能值為

1

8

，

3

8

，

5

8

，

7

8

．
（2）∵a_n=

1 2n ，n=3k+1 - 1 2n ，n≠3k+1

，k∈N
∴n=3k（k∈N^*）時，S_n=（

1

21

-

1

22

-

1

23

）+（

1

24

-

1

25

-

1

26

）+…+（

1

23k-2

-

1

23k-1

-

1

23k

）
=（

1

21

+

1

24

+…+

1

23k-2

）-（

1

22

+

1

25

+…+

1

23k-1

）-（

1

23

+

1

26

+

1

23k

）
=

1 2 [1-( 1 23 )k]

1- 1 23

-

1 22 [1-( 1 23 )k]

1- 1 23

-

1 23 [1-( 1 23 )k]

1- 1 23

=

8

7

[1-(

1

8

)k]（

1

2

-

1

4

-

1

8

）
=

1

7

[1-(

1

2

)n]；
n=3k+1（k∈N）時，S_n=S_n-1+a_n=

1

7

[1-(

1

2

)n]+

1

2n

=

1

7

[1+5(

1

2

)n]；
n=3k+2（k∈N）時，S_n=S_n+1-a_n+1=

1

7

[1-(

1

2

)n+1]+

1

2n+1

=

1

7

[1+3(

1

2

)n]；
∴S_n=

1 7 (1- 1 2n )，n=3k 1 7 (1+ 5 2n )，n=3k+1 1 7 (1+ 3 2n )，n=3k+2

(k∈N)．
（3）①n=1時，S₁=

1

2

，命題成立．             
②假設n=k（k≥1）時命題成立，即S_k所有可能值集合為：{x|x=

2m-1

2k

，m∈N^*，m≤2^k-1}
由假設，S_k=

2m-1

2k

（m∈N^*，m≤2^k-1），
則當n=k+1，S_k+1=

1

2

±

1

22

±

1

23

±…+

1

2k

±

1

2k+1

=S_k±

1

2k+1

=

2k+1Sk±1

2k+1

，
又S_k+1=

2k+1Sk±1

2k+1

=

2(2m-1)±1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k-1），
即S_k+1=

2×(2m-1)-1

2k+1

或S_k+1=

2×(2m)-1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k-1）
即S_k+1=

2m-1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k）∴n=k+1時，命題成立．
由①②，n∈N^*，S_n所有可能值集合為{x|x=

2m-1

2n

，m∈N^*，m≤2^n-1}．

點評：本題考查數學歸納法，著重考查對新數列概念的理解，考查推理、轉化、抽象思維與創新思維的綜合應用能力，屬于難題．