Question

附加題：已知半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)與半橢圓

y2

b2

+

x2

c2

=1(x≤0)組成的曲線稱為“果圓”，其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0，F₀、F₁、F₂是對應的焦點．
（1）（文）若三角形F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程．
（2）（理）當|A₁A₂|＞|B₁B₂|時，求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

（1）∵F₀（c，0），F1(0，-

b2-c2

)，F2(0，

b2-c2

)
∴|F0F1|=

(b2-c2)+c2

=b=1，|F1F2|=2

b2-c2

=1，
于是c2=

3

4

，a2=b2+c2=

7

4

，
所求“果圓”方程為

4

7

x2+y2=1（x≥0）和y2+

4

3

x2=1（x≤0）．
（2）由題意，得a+c＞2b，c＞2b-a，即

a2-b2

＞2b-a．
兩邊平方得a²-b²＞（2b-a）²，得

b

a

＜

4

5

，
又b＞c，b，
∴b²＞c²，b²＞a²-b²，
∴

b2

a2

＞

1

2

．
∴

b

a

∈(

2

2

，

4

5

)．