Question

（2013•甘肅三模）已知函數y=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的兩個極值點分別為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），記分別以m，n為橫、縱坐標的點P（m，n）表示的平面區域為D，若函數y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區域D內的點，則實數a的取值范圍為（　　）

A．（1，3]

B．（1，3）

C．（3，+∞）

D．[3，+∞）

Answer 1

分析：根據極值的意義可知，極值點x₁、x₂是導函數等于零的兩個根，可得方程x²+mx+

1

2

（m+n）=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞），從而可確定平面區域為D，進而利用函數y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區域D上的點，可求實數a的取值范圍．

解答：解：求導函數可得y'=x²+mx+

1

2

（m+n），
依題意知，方程y'=0有兩個根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
構造函數f（x）=x²+mx+

1

2

（m+n），
∴

f(0)＞0  f(1)＜0

，∴

m+n＞0 2+3m+n＜0

，
∵直線m+n=0，2+3m+n=0的交點坐標為（-1，1）
∴要使函數y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區域D上的點，則必須滿足1＜log_a（-1+4）
∴log_a3＜1，解得a＜3
又∵a＞1，
∴1＜a＜3，
故選B．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區域，屬于中檔題．