Question

【題目】設二次函數，關于的不等式的解集有且只有一個元素．

（1）設數列的前項和，求數列的通項公式；

（2）記，則數列中是否存在不同的三項成等比數列？若存在，求出這三項，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在不同的三項能組成等比數列．

【解析】試題分析：（1）因為關于的不等式的解集有且只有一個元素，所以二次函數的圖象與軸相切，則，得，所以數列的前項和由與的關系求（2），假設數列中存在三項成等比數列，則，即，整理得，因為都是正整數，所以，整理得與題意矛盾.

試題解析：

（1）因為關于的不等式的解集有且只有一個元素，

所以二次函數的圖象與軸相切，

則，考慮到，所以，

從而，

所以數列的前項和，

于是當時， ，

當時， ，不適合上式，

所以數列的通項公式為；

（2）．

假設數列中存在三項成等比數列，則，

即，整理得，

因為都是正整數，所以，

于是，即，從而，與矛盾，

故數列中不存在不同的三項能組成等比數列．