Question

設(shè)f（x）是定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的奇函數(shù)，且它在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)增．
（1）用定義證明：f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若mn＜0且m+n＜0，試判斷f（m）+f（n）的符號(hào)；
（3）若f（1）=0解關(guān)于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0．

Answer 1

分析：（1）在（0，+∞）上任取2個(gè)數(shù)b和a，b＞a＞0，則-b＜-a＜0，由f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)增及f（x）是奇函數(shù)推出
f（b）＞f（a）．
（2） 不妨設(shè)m＜n，則由題意知m＜-n＜0，再由f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），移項(xiàng)可證的結(jié)論．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為log_a（1-x²）＞0=log_a1，分a＞1和1＞a＞0兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．

解答：解：（1）f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，證明如下：
設(shè)b＞a＞0，則-b＜-a＜0，∵f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)增，
∴f（-b）＜f（-a），又  f（x）是奇函數(shù)，∴-f（b）＜-f（a），
即   f（b）＞f（a），∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵mn＜0且m+n＜0，不妨設(shè)m＜n，則 m＜0，n＞0，|m|＞|n|，
∴m＜-n＜0，再由f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），
∴f（m）+f（n）＜0．
（3）∵f（1）=0，∴關(guān)于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0  即 f[log_a（1-x²）+1]＞f（1），
∴l(xiāng)og_a（1-x²）+1＞1，∴l(xiāng)og_a（1-x²）＞0，
當(dāng)a＞1時(shí)，1-x²＞1，無(wú)解；      
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，1＞1-x²＞0，1＞x²＞0，-1＜x＜0 或 0＜x＜1，
綜上，關(guān)于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0的解集是：
當(dāng)a＞1時(shí)，解集是∅，當(dāng)1＞a＞0時(shí)，解集是（-1，0）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，以及利用函數(shù)的單調(diào)性解對(duì)數(shù)型不等式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．