Question

已知函數其中a>0.

（I）求函數f(x)的單調區間；

（II）若函數f（x）在區間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（III）當a=1時，設函數f（x）在區間[t,t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t）,記g(t)=M(t)-m(t),求函數g(t)在區間[-3，-1]上的最小值。

【考點定位】本小題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、函數的零點，函數的最值等基礎知識.考查函數思想、分類討論思想.考查綜合分析和解決問題的能力.

 

Answer 1

【答案】

（I）單調遞增區間是，；單調遞減區間是    （2）

（3）

【解析】（I）解：

由，得

當x變化時，，的變化情況如下表：

x		-1		a
	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

故函數的單調遞增區間是，；單調遞減區間是.

（II）解：由（I）知在區間內單調遞增，在內單調遞減，從而函數在區間內恰有兩個零點當且僅當，解得.

所以，a的取值范圍是.

（III）解：a=1時，.由（I）知在區間內單調遞增，在內單調遞減，在上單調遞增.

（1）當時，，，在上單調遞增，在上單調遞減.因此，在上的最大值，而最小值為與中的較小者.由知，當時，，故，所以.而在上單調遞增，因此.所以在上的最小值為.

（2）當時，，且.

下面比較的大小由在，上單調遞增，

有 

又由，，

從而，

所以   綜上，函數在區間上的最小值為