Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=1-na_n（n∈N^*）
（1）計算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

（1）計算得a1=

1

2

；a2=

1

6

；a3=

1

12

；a4=

1

20

．
（2）猜測：an=

1

n(n+1)

．下面用數學歸納法證明
①當n=1時，猜想顯然成立．
②假設n=k（k∈N^*）時，猜想成立，
即ak=

1

k(k+1)

．
那么，當n=k+1時，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，
即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1．
又Sk=1-kak=

k

k+1

，
所以

k

k+1

+ak+1=1-(k+1)ak+1，
從而ak+1=

1

(k+1)(k+2)

=

1

(k+1)[(k+1)+1]

．
即n=k+1時，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．