【題目】已知函數
.
（1）當
時，求函數
的單調區間；
（2）設
，當
時，對任意
，存在
，使得
，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）當
時，單調減區間是
，單調增區間是
，
；當
時，單調增區間是
，沒有單調減區間；（2）
.
【解析】
（1）先求函數的定義域，利用函數的導函數
，得
或
，當
時，分，討論即可得到答案；
（2）當
時，由（1）知
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
從而在
上的最小值為
，由題意得
，即
，令
，求新函數
的最大值即可得實數
的取值范圍.
（1）函數
的定義域為
，
，
由，得或.
當即
時，由
得
，
由
得
或
；
當即
時，當
時都有
；
當時，單調減區間是，單調增區間是，；
當時，單調增區間是，沒有單調減區間.
（2）當時，由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增，
從而在上的最小值為.
對任意
，存在
，使得
，
即存在，使
的值不超過
在區間上的最小值
.
由，
.
令，則當
時，
.
，
當
時
；當
時，
，.
故在
上單調遞減，
從而
，
從而.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，已知菱形
的對角線
交于點
，點
為線段
的中點，
，
，將三角形
沿線段
折起到
的位置，
，如圖2所示．
（Ⅰ）證明：平面
平面
；
（Ⅱ）求三棱錐
的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為坐標原點，圓
：
，定點
，點
是圓上一動點，線段
的垂直平分線交圓的半徑
于點
，點的軌跡為
．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）不垂直于
軸且不過
點的直線
與曲線相交于
兩點，若直線
、
的斜率之和為0，則動直線是否一定經過一定點？若過一定點，則求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一款小游戲的規則如下：每輪游戲要進行三次，每次游戲都需要從裝有大小相同的2個紅球，3個白球的袋中隨機摸出2個球，若摸出的“兩個都是紅球”出現3次獲得200分，若摸出“兩個都是紅球”出現1次或2次獲得20分，若摸出“兩個都是紅球”出現0次則扣除10分（即獲得
分）．
（1）設每輪游戲中出現“摸出兩個都是紅球”的次數為
，求的分布列；
（2）玩過這款游戲的許多人發現，若干輪游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了，請運用概率統計的相關知識分析解釋上述現象．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
與橢圓
相交于點M（0，1），N（0，-1），且橢圓的離心率為
.
（1）求
的值和橢圓C的方程；
（2）過點M的直線
交圓O和橢圓C分別于A，B兩點.
①若
，求直線的方程；
②設直線NA的斜率為
，直線NB的斜率為
，問:
是否為定值? 如果是，求出定值；如果不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】無線電技術在航海中有很廣泛的應用，無線電波可以作為各種信息的載體．現有一艘航行中的輪船需要與陸地上的基站進行通信，其連續向基站拍發若干次呼叫信號，每次呼叫信號被基站收到的概率都是0.2，基站收到呼叫信號后立即向輪船拍發回答信號，回答信號一定能被輪船收到．
（Ⅰ）若要保證基站收到信號的概率大于0.99，求輪船至少要拍發多少次呼叫信號．
（Ⅱ）設（Ⅰ）中求得的結果為
．若輪船第一次拍發呼叫信號后，每隔5秒鐘拍發下一次，直到收到回答信號為止，已知該輪船最多拍發次呼叫信號，且無線電信號在輪船與基站之間一個來回需要16秒，設輪船停止拍發時，一共拍發了
次呼叫信號，求的數學期望（結果精確到0.01）．
參考數據：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知兩動圓
和
（
），把它們的公共點的軌跡記為曲線
，若曲線與
軸的正半軸的交點為
，且曲線上的相異兩點
滿足：
.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）證明直線
恒經過一定點，并求此定點的坐標；
（3）求
面積
的最大值.
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