Question

【題目】如圖，已知面垂直于圓柱底面， 為底面直徑， 是底面圓周上異于的一點， .求證:

（1）平面平面；

（2）求幾何體的最大體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）證明兩個平面垂直，應用兩面垂直的判定定理，在其中一個面內找一條直線與另一個面垂直。由為底面直徑， 是底面圓周上異于的一點，可得。由面垂直于圓柱底面，可得平面，因為平面，所以。因為, 平面, 平面，再由直線與平面垂直的判定定理可得平面.又因為平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面. （2）要求幾何體的最大體積，應先把幾何體的體積表示出來，轉化為求函數的最值問題。該幾何體是三棱錐，其體積為底面積與高的乘積三分之一，因為平面，所以是三棱錐的高。因為為底面直徑，且，故可設，在中, 。所以三棱錐的體積為

，因為為常數4，所以可由基本不等式求其最大值 .

試題解析:（1）證明：∵是底面圓周上異于的任意一點，且是圓柱底面圓的直徑，∴，

∵平面， 平面，∴

∵, 平面, 平面

∴平面.又平面，

∴平面平面.

（2）設，在中, ，

∵平面，∴是三棱錐的高

因此，三棱錐的體積為

.當且僅當，即時，三棱錐的體積取最大值。

∴當，即時，三棱錐的體積的最大值為.