Question

在ΔABC中，頂點A,B, C所對三邊分別是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差數列.
(I )求頂點A的軌跡方程；
(II) 設頂點A的軌跡與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N，如果存在過點P(0,-)的直線l,使得點M、N關于l對稱，求實數m的取值范圍

Answer 1

（1）（2）當k=0時，m的取值范圍為；
當k≠0時，m的取值范圍為()．

(I ) 且b,a, c成等差數列結合橢圓的定義求得軌跡方程；(II)將y=kx+m與橢圓方程聯立，判別式大于0，根據點關于直線對稱，得k、m的關系
解：（I）由題知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．
由橢圓定義知，頂點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓（除去左右頂點），
且其長半軸長為2，半焦距為1，于是短半軸長為．
∴ 頂點A的軌跡方程為．………………………………4分
（II）由
消去y整理得(3+4k²)x²+8kmx+4(m²-3)=0．∴  Δ=(8km)²-4(3+4k²)×4(m²-3)>0，
整理得：4k²>m²-3．①令M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則 
設MN的中點P(x₀，y₀)，則
，…………………7分
i)當k=0時，由題知，．……………………………8分
ii)當k≠0時，直線l方程為，由P(x₀，y₀)在直線l上，得，得2m=3+4k²．②把②式代入①中可得2m-3>m²-3，解得0<m<2.又由②得2m-3=4k²>0，解得．∴ ．驗證：當(-2，0)在y=kx+m上時，得m=2k代入②得4k²-4k+3=0，k無解．即y=kx+m不會過橢圓左頂點.同理可驗證y=kx+m不過右頂點．∴ m的取值范圍為()．………11分
綜上，當k=0時，m的取值范圍為；當k≠0時，m的取值范圍為()．