Question

【題目】已知，其中．

（1）當時，設函數，求函數的極值．

（2）若函數在區間上遞增，求的取值范圍；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）極大值，無極小值；（2）．（3）見解析

【解析】

（1）先求導，根據導數和函數極值的關系即可求出；

（2）先求導，再函數在區間上遞增，分離參數，構造函數，求出函數的最值，問題得以解決；

（3）取得到，取，可得

，累加和根據對數的運算性和放縮法即可證明.

解：（1）當時，設函數，則

令，解得

當時，，當時，

所以在上單調遞增，在上單調遞減

所以當時，函數取得極大值，即極大值為，無極小值；

（2）因為，

所以，

因為在區間上遞增，

所以在上恒成立，

所以在區間上恒成立．

當時，在區間上恒成立，

當時，，

設，則在區間上恒成立．

所以在單調遞增，則，

所以，即

綜上所述．

（3）由（2）可知當時，函數在區間上遞增，

所以，即，

取，則

．

所以

所以