Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)對(duì)于任意都有且當(dāng)時(shí)，有。
（1）  判斷的奇偶性與單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）  設(shè)不等式對(duì)于一切恒成立，求整數(shù)的最小值。

Answer 1

解：（1）令，得，解得
令得，
所以，是奇函數(shù)。                              ………………………3分
設(shè)，則，由條件得，
因此，
所以，在上為減函數(shù)。                ………………………6分
（2）由，得，因此，，所以原不等式可化為；
①當(dāng)時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法可證得
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。（）
ⅰ。當(dāng)時(shí)，左邊==右邊，等式成立。
ⅱ。假設(shè)時(shí)等式成立，即。
當(dāng)時(shí)，

這說明當(dāng)時(shí)等式也成立。
根據(jù)ⅰ、ⅱ可知，對(duì)任意，均有成立。
②當(dāng)時(shí)，式顯示成立；
③當(dāng)時(shí)，由奇函數(shù)性質(zhì)可證明式也成立；
所以，有，
由單調(diào)性得，對(duì)于恒成立。………………10分
解法一：由恒成立，令。
由基本不等式可得，因此，
又由，得。                                  ………………14分
解法二：設(shè)，
對(duì)于恒成立。
①若，此時(shí)無解；
②若。
③若。
綜上可得：又，所以。              ………………14分
解法三:由已知易得，令，得，因此，即，又由于可取到，所以。                            ………………14分

略