Question

如圖，在由圓O：x²+y²=1和橢圓C：=1（a＞1）構成的“眼形”結構中，已知橢圓的離心率為，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得•=，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵橢圓C：=1（a＞1）的離心率為，
∴
解得：a²=3，所以所求橢圓C的方程為         
（2）假設存在直線l，使得•=，
當直線l垂直于x軸時，不符合題意，故設直線l方程為y=kx+b，
由直線l與圓O相切，可得b²=k²+1 
代入橢圓C的方程為，可得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0
設設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則，
∴==
由（1）（2）可得k²=1，b²=2
故存在直線l，方程為，使得•=．
分析：（1）根據橢圓C：=1（a＞1）的離心率為，可得a²=3，從而可求橢圓C的方程；
（2）假設存在直線l，使得•=，當直線l垂直于x軸時，不符合題意，故設直線l方程為y=kx+b，由直線l與圓O相切，可得b²=k²+1，代入橢圓C的方程為，可得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），進而利用•=，即可知存在直線l．
點評：本題以橢圓的幾何性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，同時考查了存在性問題，合理運用向量的數量積運算是解題的關鍵．