Question

如圖，在三棱柱中，側棱底面，，，，．

（1）證明：平面；

（2）若是棱的中點，在棱上是否存在一點，使平面？證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析.（2）當點為棱的中點時，平面．證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）要證明線面垂直，須證明直線與平面內的兩條相交直線都垂直，一般要遵循“先找再作”的原則，對圖形進行細致分析是關鍵.注意到，得到．

由側棱底面，得到．從而得到平面．，

利用，得到．結合四邊形為正方形．

得到．推出平面．

（2）對于這類存在性問題，往往是先通過對圖形的分析，找“特殊點”，肯定其存在性，再加以證明.

注意到當點為棱的中點時，取的中點，連、、，利用三角形相似，得到平面及平面，利用平面平面．推出平面．

試題解析：（1）∵，∴．

∵側棱底面，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴，

∵，則．                                      4分

在中，，，∴．

∵，∴四邊形為正方形．

∴．                                                   6分

∵，∴平面．                            7分

（2）當點為棱的中點時，平面．                   9分

證明如下：

如圖，取的中點，連、、，

∵、、分別為、、的中點，

∴．

∵平面，平面，

∴平面．　　　　                 11分

同理可證平面．                    12分

∵，

∴平面平面．                    13分

∵平面，

∴平面．                           14分

考點：立體幾何的平行關系與垂直關系