Question

已知函數(shù)f(x)＝.
(1)確定y＝f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性；
(2)若a>0，函數(shù)h(x)＝xf(x)－x－ax²在(0,2)上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）在(0，e]上單調(diào)遞增，在[e，＋∞)上單調(diào)遞減．（2）a>－（3）(0，＋∞)

(1)對(duì)已知函數(shù)f(x)求導(dǎo)得，f′(x)＝.
由1－ln x＝0，得x＝e.
∴當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，
∴函數(shù)f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，在[e，＋∞)上單調(diào)遞減．
(2)由h(x)＝xf(x)－x－ax²，
可得h(x)＝ln x－x－ax²，
則h′(x)＝－1－2ax＝.
h(x)＝xf(x)－x－ax²在(0,2)上有極值的充要條件是φ(x)＝－2ax²－x＋1在(0,2)上有零點(diǎn)，
∴φ(0)·φ(2)<0，解得a>－.
綜上所述，a的取值范圍是(0，＋∞)．