Question

【題目】若函數f（x）=x2﹣2ax+3為定義在[﹣2，2]上的函數．
（1）當a=1時，求f（x）的最大值與最小值；
（2）若f（x）的最大值為M，最小值為m，函數g（a）=M﹣m，求g（a）的解析式，并求其最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=x2﹣2x+3的對稱軸為x=1，

∴f（x）在[﹣2，1]上單調遞減，在（1，2]上單調遞增，

∴f（x）max=f（﹣2）=4+4+3=11，f（x）min=f（1）=1﹣2+3=2

（2）解：∵f（x）=x2﹣2ax+3的對稱軸為x=a，

當a≤﹣2時，f（x）在[﹣2，2]上單調遞增，

∴f（x）min=f（﹣2）=4+4a+3=4a+7，f（x）max=f（2）=﹣4a+7，

∴g（a）=M﹣m=﹣4a+7﹣4a﹣7=﹣8a，

當a≥2時，f（x）在[﹣2，2]上單調遞減，

∴f（x）max=f（﹣2）=4a+7，f（x）min=f（2）=﹣4a+7，

∴g（a）=M﹣m=4a+7﹣4a﹣7=8a，

當﹣2≤a＜0時，f（x）在[﹣2，a）上單調遞減，在（a，2]上單調遞增，

∴f（x）max=f（2）=﹣4a+7，f（x）min=f（a）=﹣a2+3，

∴g（a）=M﹣m=﹣4a+a2+3，

當0≤a＜2時，f（x）在[﹣2，a）上單調遞減，在（a，2]上單調遞增，

∴f（x）max=f（﹣2）=4a+7，f（x）min=f（a）=﹣a2+3，

∴g（a）=M﹣m=4a+a2+3，

∴g（a）=

當a≥2，g（a）min=16，

當0≤a＜2時，g（a）min=g（0）=3，

當﹣2＜a＜0時，g（a）min=g（0）=3，

當a≤﹣2時，g（a）min=16，

綜上所述g（a）min=3

【解析】（1）根據二次函數的性質即可求出函數的最值，（2）需要分類討論，根據對稱軸和函數的單調性即可求出最值，即可求出g（a）的解析式，再分別求出最小值，即可得到答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．