Question

【題目】在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點形成軌跡．

（1）求軌跡的方程；

（2）若直線與曲線交于兩點，為曲線上一動點，求面積的最大值

Answer 1

【答案】（1）；

（2）面積最大為．

【解析】

（1）設出點的坐標，由為線段的中點得到的坐標，把的坐標代入圓整理得線段的中點的軌跡方程；（2）聯立直線和橢圓，求出的長；設過且與直線平行的直線為，當直線與橢圓相切時，兩直線的距離取最大，求出，和兩平行直線間的距離，再由面積公式，即可得到最大值．

設，由題意，

為線段的中點，

即

又在圓上，

，即，

所以軌跡為橢圓，且方程為.

聯立直線和橢圓，

得到，即

即有

設過且與直線平行的直線為，

當直線與橢圓相切時，兩直線的距離取最大，

將代入橢圓方程得：

由相切的條件得

解得，

則所求直線為或，

故與直線的距離為，

則的面積的最大值為.