Question

【題目】已知函數f(x)=ex-x2+a,x∈R的圖象在x=0處的切線方程為y=bx.(e≈2.718 28)

(1)求函數f(x)的解析式;

(2)當x∈R時,求證:f(x)≥-x2+x;

(3)若f(x)>kx對任意的x∈(0,+∞)恒成立,求實數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 解析式為f(x)=ex-x2-1;(2)見解析;（3）實數k的取值范圍為(-∞,e-2).

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得，再結合，解方程組得（2）作差函數，根據導數求其單調性，根據單調性確定其最小值，即證得不等式，(3)先分離變量，轉化為求對應函數g(x)=的最小值，再根據導數求g(x)單調性，由單調性確定其最小值取法，即得實數k的取值范圍.

試題解析：(1)解 ∵f(x)=ex-x2+a,

∴f'(x)=ex-2x.

由已知,得

解得

∴函數f(x)的解析式為f(x)=ex-x2-1.

(2)證明 令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,則φ'(x)=ex-1.

由φ'(x)=0,得x=0.

當x∈(-∞,0)時,φ'(x)<0,φ(x)單調遞減;

當x∈(0,+∞)時,φ'(x)>0,φ(x)單調遞增.

故φ(x)min=φ(0)=0,從而f(x)≥-x2+x.

(3)解 f(x)>kx對任意的x∈(0,+∞)恒成立>k對任意的x∈(0,+∞)恒成立.

令g(x)=,x>0,

則g'(x)=

=

=.

由(2)可知當x∈(0,+∞)時,ex-x-1>0恒成立,

由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得0<x<1.

故g(x)的遞增區間為(1,+∞),遞減區間為(0,1),即g(x)min=g(1)=e-2.

故k<g(x)min=g(1)=e-2,即實數k的取值范圍為(-∞,e-2).