Question

已知無窮數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足Sn=A

a

2 n

+Ban+C，其中A、B、C是常數．
（1）若A=0，B=3，C=-2，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若A=1，B=

1

2

，C=

1

16

，且a_n＞0，求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）試探究A、B、C滿足什么條件時，數列{a_n}是公比不為-1的等比數列．

Answer 1

分析：（1）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1 ，n≥2

，結合等比數列的性質能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1 ，n≥2

，結合題設條件進行因式分解，得到{a_n}是等差數列，由此能求出數列{a_n}的前n項和S_n．
（3）設數列{a_n}是公比為q的等比數列，分別討論當q=1，q≠±1，q≠0時的情況，由此入手能夠求出結果．

解答：解：（1）∵Sn=A

a

2 n

+Ban+C，A=0，B=3，C=-2，
∴S_n=3a_n-2，
∴當n=1時，a₁=3a₁-2，解得a₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1，
整理，得2a_n=3a_n-1，
∴

an

an-1

=

3

2

，
∴an=(

3

2

)n-1．
（2）∵Sn=A

a

2 n

+Ban+C，A=1，B=

1

2

，C=

1

16

，
∴Sn=

a

2 n

+

1

2

an+

1

16

，
∴當n=1時，a1=

a

2 1

+

1

2

a1+

1

16

，解得a1=

1

4

，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

a

2 n

-

a

2 n-1

+

1

2

an-

1

2

an-1
整理，得(an+an-1)(an-an-1-

1

2

)=0，
∵a_n＞0，∴an-an-1=

1

2

，
∴{a_n}是首項為

1

4

，公差為

1

2

的等差數列，
∴Sn=

n

4

+

n(n-1)

4

=

n2

4

．
（3）若數列{a_n}是公比為q的等比數列，
①當q=1時，a_n=a₁，S_n=na₁
由Sn=A

a

2 n

+Ban+C，得na1=A

a

2 1

+Ba1+C恒成立
∴a₁=0，與數列{a_n}是等比數列矛盾；
②當q≠±1，q≠0時，an=a1qn-1，Sn=

a1

q-1

qn-

a1

q-1

，
由Sn=A

a

2 n

+Ban+C恒成立，
得A×

a 2 1

q2

×q2n+(B×

a1

q

-

a1

q-1

)×qn+C+

a1

q-1

=0對于一切正整數n都成立
∴A=0，B=

q

q-1

≠1或

1

2

或0，C≠0，
事實上，當A=0，B≠1或

1

2

或0，C≠0時，
S_n=Ba_n+Ca1=

C

1-B

≠0，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=Ba_n-Ba_n-1，
得

an

an-1

=

B

B-1

≠0或-1
∴數列{a_n}是以

C

1-B

為首項，以

B

B-1

為公比的等比數列．

點評：本題考查數列的通項公式和數列的前n項和的求法，探究A、B、C滿足什么條件時，數列{a_n}是公比不為-1的等比數列，對數學思維能力要求較高，解題時要注意分類討論思想的合理運用．