Question

已知A，B，C是△ABC三內角，向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1．
（1）求角A；
（2）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanB．

Answer 1

（1）∵

m

（-1，

3

），

n

（cosA，sinA），且

m

•

n

=1，
∴

3

sinA-cosA=2（

3

2

sinA-

1

2

cosA）=2sin（A-

π

6

）=1，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，
∴A=

π

3

；
（2）由題知

1+2sinBcosB

cos2B-sin2B

=-3，且sin²B+cos²B=1，
整理得：sin²B-sinBcosB-2cos²B=0，
∴cosB≠0，即cos²B≠0，
∴等式左右兩邊除以cos²B得：tan²B-tanB-2=0，
∴tanB=2或tanB=-1，
而tanB=-1使cos²B-sin²B=0，舍去，
∴tanB=2．