Question

下列四個命題：（1）奇函數f（x）在（-∞，0）上增函數，則（0，+∞）上也是增函數．（2）若函數f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，則b²-8a＜0且a＞0；（3）y=x²-2|x|-3的遞增區間為[1，+∞）；（4）函數f（x）的定義域為R*，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，則f（2）=
其中正確命題的序號為________．

Answer 1

解：選項（1）正確，由奇函數在對稱區間的單調性相同可得；
選項（2）錯誤，函數f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點，還可能b²-8a＜0且a＜0，或a=b=0；
選項（3）錯誤，y=x²-2|x|-3=，可知函數的單調遞增區間為（-1，0）和[1，+∞）；
選項（4）正確，∵f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，∴f（8）=f（4+4）=f（4）+f（4）
=f（2+2）+f（2+2）=4f（2）=3，故f（2）=．
故答案為：（1）（4）
分析：由函數的性質，逐個選項驗證即可：選項（1）奇函數在對稱區間的單調性相同；選項（2）分類思想，還可能b²-8a＜0且a＜0，或a=b=0；選項（3）單調遞增區間為（-1，0）和[1，+∞）；選項（4）充分利用f（x+y）=f（x）+f（y）和f（8）=3易得結果．
點評：本題考查函數的性質，涉及單調性、奇偶性、二次函數和抽象函數，屬基礎題．