Question

(本小題滿分14分) 如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于A、B、C三點，過坐標原點O的直線與拋物線交于M、N兩點.分別過點C、D作平行于軸的直線、.（1）求拋物線對應的二次函數的解析式；（2）求證:以ON為直徑的圓與直線相切；（3）求線段MN的長（用表示），并證明M、N兩點到直線的距離之和等于線段MN的長.

Answer 1

（1） ；（2）見解析； （3）

此題屬于二次函數的綜合題目，涉及了待定系數法求函數解析式、根與系數的關系，梯形的中位線定理，綜合性較強，關鍵是要求同學們能將所學的知識融會貫通．
（1）設函數解析式為y=ax²+bx+c，然后利用待定系數法求解即可；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），然后代入拋物線方程，用含y₂的式子表示出ON，設ON的中點E，分別過點N、E向直線l、作垂線，垂足為P、F，利用梯形的中位線定理可得出EF，與所求ON的值進行比較即可得出結論；
（3）過點M作MH丄NP交NP于點H，在RT△MNH中表示出MN²，結合直線方程將MN²化簡，求出MN，然后延長NP交l₂于點Q，過點M作MS丄l₂交l₂于點S，則MS+NQ=y₁+2+y₂+2，利用根與系數的關系，求出，并代入，從而可得出結論。
解答：（1）設拋物線對應二次函數的解析式為
由 ，解得，所以 ……………………4分
（2）設，因為點M、N在拋物線上，

所以，，所以；
又=，所以ON=，又因為，
所以ON
設ON的中點為E，分別過點Ｎ、Ｅ向直線作垂線，垂足分別為P、F，
則   所以ON=2EF，
即ON的中點到直線的距離等于ON長度的一半， 所以以ON為直徑的圓與直線相切.                                          …………………………………9分
（3）過點M作MH⊥NP交NP于點H，則
又，所以
所以；
又因為點M、N既在的圖象上，又在拋物線上，所以，即，
所以，
所以，所以 所以 
延長NP交于點Ｑ，過點Ｍ作ＭＳ⊥交于點S，
則MS+NQ=
又=所以MS+NQ=
即MN兩點到距離之和等于線段MN的長.…………………………………………14