Question

設函數f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）將函數y=f（x）圖象向右平移一個單位即可得到函數y=φ（x）的圖象，試寫出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）關于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=

2

2

，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數圖象的變換可得 φ（x）=a² （x-1）² ，值域為[0，+∞）．
（2）由題意可得（1-a²） x²-2x+1＞0 恰有三個整數解，故 1-a²＜0，再由（1-a²） x²-2x+1＞0，求得實數a的
取值范圍．
（3）設F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²-elnx，利用導數知識判斷單調性，求出 x=

e

時，F（x） 取得最小值0．
設f（x）與g（x）存在“分界線”，方程為 y=kx+

e

2

-k

e

，由 f（x）≥kx+

e

2

-k

e

，對x∈R恒成立，求得k=

e

．
再利用導數證明g（x）≤

e

x-

e

2

（x＞0）恒成立，從而得到所求“分界線”方程．

解答：解：（1）由題意可得 φ（x）=a² （x-1）² ，值域為[0，+∞）．  …（2分）
（2）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數恰有3個，
等價于（1-a²） x²-2x+1＞0 恰有三個整數解，故 1-a²＜0，即 a＞1，
∴（1-a²） x²-2x+1=[（（1-a）x-1][（1+a）x-1]＞0，
所以

1

1-a

＜x＜

1

1+a

，又因為 0＜

1

1+a

＜1，
所以 -3≤

1

1+a

＜-2，解之得 

4

3

≤a＜

3

2

．  …（6分）
（3）設F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

 x²-elnx，則 F′（x）=x-

e

x

=

(x- e )(x+ e )

x

．
所以當 0＜x＜

e

 時，F′（x）＜0；當 x＞

e

 時，F′（x）＞0．
因此 x=

e

 時，F（x） 取得最小值0，
則 f（x）與g（x）的圖象在x=

e

處有公共點 （

e

，

e

2

）．   …（8分）
設f（x）與g（x）存在“分界線”，方程為 y-

e

2

=k（x-

e

），即 y=kx+

e

2

-k

e

，
由 f（x）≥kx+

e

2

-k

e

，對x∈R恒成立，
則 x²-2kx-e+2k

e

≥0 在x∈R恒成立．
所以△=4k²-4（2k

e

-e）=4(k-

e

)2≤0成立，因此 k=

e

．…（10分）
下面證明 g（x）≤

e

x-

e

2

 （x＞0）恒成立．
設G（x）=elnx-x

e

+

e

2

，則 G′（x）=

e

x

-

e

=

e ( e -x)

x

．
所以當  0＜x＜

e

時，G′（x）＞0；當  x＞

e

時，G′（x）＜0．
因此 x=

e

時，G（x）取得最大值0，則 g（x）≤

e

x-

e

2

（x＞0）成立．
故所求“分界線”方程為：y=

e

x-

e

2

．　　　　　　　　　　　　…（14分）

點評：本題主要考查平移，值域，解整式和分式不等式，切線方程的求法，導數知識判斷單調性及其應用，存在性，以及探索、等價轉化和推理證明能力，解決綜合問題的能力．