Question

田忌和齊王賽馬是歷史上有名的故事．設齊王的3匹馬分別為A、B、C，田忌的3匹馬分別為a，b，c，6匹馬的奔跑速度由快到慢的順序依次為：A，a，B，b，C，c．兩人約定：6匹馬均需參賽，共賽3場，每場比賽雙方各出1匹馬，最終至少勝兩場者為獲勝．
（1）如果雙方均不知道對方的出馬順序，求田忌獲勝的概率；
（2）頗有心計的田忌賽前派探子到齊王處打探實情，得知齊王第一場必出A馬．那么，田忌應怎樣安排馬的出場順序，才能使獲勝的概率最大？

Answer 1

分析：（1）由題意知這是一個古典概型，試驗包含的所有事件是可以通過列舉得到，在列舉出的結果中，看出符合條件的是哪些，結果只有一種，根據古典概型公式得到結果．
（2）齊王第一場必出上等馬A，若田忌第一場必出上等馬a或中等馬b，則剩下二場，田忌至少輸一場，這時田忌必敗．為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應出下等馬c，后兩場包括兩種情況，分別做出概率，得到結果．

解答：解：記A與a比賽為（A，a），其它同理
（l）齊王與田忌賽馬，有如下6種情況：
（A，a），（B，b），（C，c）；（A，a），（B，c），（C，b）；
（A，b），（B，c），（C，a）；（A，b），（B，a），（C，c）；
（A，c），（B，a），（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）．
其中田忌獲勝的只有一種：（A，c），（B，a），（C，b）．
∴田忌獲勝的概率為P=

1

6

．
（2）已知齊王第一場必出上等馬A，若田忌第一場必出上等馬a或中等馬b，
則剩下二場，田忌至少輸一場，這時田忌必敗．
為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應出下等馬c．
后兩場有兩種情形：
①若齊王第二場派出中等馬B，
可能的對陣為：（B，a），（C，b）或（B，b），（C，a）．
田忌獲勝的概率為

1

2

．
②若齊王第二場派出下等馬C，
可能的對陣為：（C，a），（B，b）或（C，b），（B，a）．
田忌獲勝的概率也為

1

2

．
∴田忌按c，a，b或c，b，a的順序出馬，
才能使自己獲勝的概率達到最大

1

2

．

點評：古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點結合在一起，實際上是以概率問題為載體，主要考查的是另一個知識點．