Question

第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分.

已知點為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程為.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過圓上任意一點作切線交雙曲線于兩個不同點，中點為，

求證：；

（3）過雙曲線上一點作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和，求的值

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析；（3）

【解析】本試題主要考查了雙曲線的運用。

解：（1）設的坐標分別為----------------1分

因為點M在雙曲線C上，所以，即，所以------2分

在中，，，所以-------3分

由雙曲線的定義可知：

     故雙曲線C的方程為：-------------------4分

（2）①當切線l的斜率存在

設，切線的方程為：

代入雙曲線C中，化簡得： 

所以-------------------6分

因為直線l與圓O相切，所以，代入上式，得-----------7分

設點M的坐標為，則

所以-------------------8分

即|AB|=2|OM|成立

②當切線l的斜率不存在時，

，

即|AB|=2|OM|成立-------------------10分

（1） 由條件可知：兩條漸近線分別為

------11分

設雙曲線C上的點P(x₀,y₀)，

則點P到兩條漸近線的距離分別為--------------13分

因為P(x₀,y₀)，在雙曲線C：上，所以

故-------------------14分

設 -------------15分

-----16分