Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，，分別是，的中點.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）先利用線面垂直得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理進行證明；（2）利用三角形的中位線得到線線平行和線段，得到平行四邊形，再由平行四邊形的性質得到線線平行，再由線面平行的判定定理進行證明；（3）利用三棱錐的體積公式進行求解．

試題解析：（Ⅰ）證明：在三棱柱中，

底面，所以.

又因為，，

所以平面，

又平面，

所以平面平面

（Ⅱ）證明：取的中點，連接，.

因為，，分別是，，的中點，

所以，且，.

因為，且，所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

又因為平面，平面，所以平面.

（Ⅲ）因為，，，所以.

所以三棱錐的體積

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