Question

【題目】已知實數λ＞0，設函數f（x）=eλx﹣x．

（Ⅰ）當λ=1時，求函數f（x）的極值；

（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極小值是1；（Ⅱ）

【解析】試題分析： （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；

（Ⅱ）問題轉化為λ≥，令g（x）=，根據函數的單調性求出g（x）的最大值即λ的最小值即可．

試題解析：解：（Ⅰ）λ=1時，函數f（x）=ex﹣x，f′（x）=ex﹣1，

令f′（x）＜0，解得：x＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞0，

故f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，

故f（x）無極大值，只有極小值，且極小值是f（0）=1；

（Ⅱ）x＞0時，f（x）≥0λ≥，

令g（x）=，g′（x）=，

令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，

故g（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，

故g（x）最大值=g（e）=，

故λ的最小值是．