Question

（本小題滿分14分） 已知函數．
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）當時，函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，求實數a的取值范圍．
（Ⅲ）求證：（其中，e是自然對數的底數）．

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
（Ⅱ）．（Ⅲ）見解析。

本試題主要是考出了導數在研究函數中的運用。
（1）因為當時，（），
（），
由解得，由解得．得到單調區間。
（2）因函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，則當時，不等式恒成立，即恒成立，設（），只需即可，轉化思想的運用。
（3）據（Ⅱ）知當時，在上恒成立（或另證在區間上恒成立）結合放縮法得到結論。
（Ⅰ）當時，（），
（），
由解得，由解得．
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．········· 4分
（Ⅱ）因函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，則當時，不等式恒成立，即恒成立，設（），只需即可．  5分
由，
（ⅰ）當時， ，當時，，函數在上單調遞減，故成立．   6分
（ⅱ）當時，由，因，所以，
①若，即時，在區間上，，則函數在上單調遞增，在上無最大值（或：當時，），此時不滿足條件；
②若，即時，函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件．·························· 8分
（ⅲ）當時，由，∵，∴，
∴，故函數在上單調遞減，故成立．
綜上所述，實數a的取值范圍是．··················· 10分
（Ⅲ）據（Ⅱ）知當時，在上恒成立（或另證在區間上恒成立），    11分
又，
∵



，
∴．··········· 14分