Question

設函數（1）當時，求的最大值；（2）令，（），其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數的取值范圍；（3）當，，方程有唯一實數解，求正數的值．

Answer 1

（1）的極大值為，此即為最大值；（2）≥；（3）．

試題分析：（1）依題意，知的定義域為（0，+∞），當時，，
（2′）令=0，  解得．（∵）
因為當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減。所以的極大值為，此即為最大值          4分
（2），，則有≤，在上恒成立，
所以≥，（8′）當時，取得最大值，所以≥          8分
（3）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，
設，則．令，．
因為，，所以（舍去），，
當時，，在（0，）上單調遞減，當時，，在（，+∞）單調遞增   當時，=0，取最小值 則既所以，因為，所以（*）設函數，因為當時，是增函數，所以至多有一解．因為，所以方程（*）的解為，即，解得．         12分
點評：典型題，切線的斜率，等于在切點的導函數值。利用導數研究函數的極值，一般遵循“求導數、求駐點、研究導數的正負、確定極值”，利用“表解法”，清晰易懂。不等式恒成立問題，往往通過構造函數，通過研究函數的最值確定參數的范圍。