Question

【題目】已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，橢圓的左、右頂點分別為，是橢圓上一點，記直線的斜率為、，且有.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點的直線與橢圓相交于不同兩點和，且滿足（為坐標原點），求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據拋物線的焦點可得，由，設根據，即可求出，，從而得到橢圓方程；

（2）由題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，消元由根的判別式大于零得到，設可得由得，可得，即可得到，從而得解；

解：（1）依題意， 拋物線的焦點為，則，且

，設，則有，即

，

，

即橢圓的方程為.

（2）由題意，直線的斜率存在，設直線的方程為.

由消去，得

設，則是方程（*）的兩根，

所以，即①

且

由得，當時滿足題意；

當時，

由點在橢圓上，則，

即，

再由①和，得

綜上：

.