Question

（08年沈陽(yáng)二中四模理）（14分）已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足,。

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡；

（Ⅱ）過(guò)定點(diǎn)作直線交軌跡于兩點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求證：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè)

且

………………………………4分

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以O(shè)（0，0）為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線（除去原點(diǎn)）…………………5分

（Ⅱ）解：依題意，設(shè)直線的方程為，

，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

方程組消去并整理得：

…………………………………7分

設(shè)直線AE和BE的斜率分別為，則

＝

…………………………9分

，.…………………………10分

（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的直線，其方程為，AD的中點(diǎn)為，與AD為直徑的圓相交于點(diǎn)F、G，FG的中點(diǎn)為H，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

…………………………………12分

 

令，得，此時(shí)，

∴當(dāng)，即時(shí)，（定值）

∴當(dāng)時(shí)，滿足條件的直線存在，其方程為；當(dāng)時(shí)，滿足條件的直線不存在. ………………14分