Question

規定函數y=f（x）圖象上的點到坐標原點距離的最小值叫做函數y=f（x）的“中心距離”，給出以下四個命題：以下命題是真命題的是

 

（寫出所有其命題的序號）
①函數y=

1

x

的“中心距離”大于1；
②函數y=

5-4x-x2

的“中心距離”大于1；
③若函數y=f（x）（x∈R）與y=g（x）（x∈R）的“中心距離相等”，則函數L（x）=f（x）-g（x）至少有一個零點；
④f（x）是其定義域上的奇函數，是它的“中心距離”為0的充分不必要條件．

Answer 1

分析：在函數y=

1

x

的圖象上任取一點P（b，

1

b

），利用兩點間距離公式和均值定理能判斷出①正確，再分別舉出反例判斷出②，③，④均不正確．

解答：解：①在函數y=

1

x

的圖象上任取一點P（a，b），則a=

1

b

，
∴點P（a，b）到原點距離d=

a2+b2

=

1 b2 +b2

≥

2

＞1，
∴函數y=

1

x

的“中心距離”大于1，故①正確；
②∵函數y=

5-4x-x2

上的點（1，0）到原點距離d₁=1，
∴函數y=

5-4x-x2

的“中心距離”大于1不正確，故②錯誤；
③∵函數y=f（x）=1與y=g（x）=-1的“中心距離相等”，
L（x）=f（x）-g（x）=2沒有零點，
∴函數L（x）=f（x）-g（x）至少有一個零點不正確，故③錯誤；
④由①知奇函數y=

1

x

的“中心距離”是

2

，故④錯誤．
故答案為：①．

點評：本題考查真假命題的判斷，當判斷一個命題為真命題時要給出具體的判斷過程，當判斷一個命題為假命題時只需舉出一個反例即可．