Question

【題目】已知數列{an}的首項為a1=1，且 ，（n∈N*）．
（1）求a2 ， a3的值，并證明：a2n﹣1＜a2n+1＜2；
（2）令bn=|a2n﹣1﹣2|，Sn=b1+b2+…+bn ． 證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1， ，

∴ ，a3= ；

下證：a2n﹣1＜a2n+1＜2．

一方面， ，

所以 ，

由題可知an＞0，所以 ，即an+1﹣2與an﹣2異號，

故an+2﹣2與an﹣2同號，于是a2n+1﹣2與a2n﹣1﹣2同號，

又∵a1﹣2=﹣1＜0，∴a2n+1＜2；

另一方面，

由a2n﹣1＜2知a2n+1﹣a2n﹣1＞0，即a2n+1＞a2n﹣1，

綜上所述：a2n﹣1＜a2n+1＜2；

（2）證明： ，

由bn=|a2n﹣1﹣2|知 ，

又1≤a2n﹣1＜a2n+1＜2，所以 ，

而b1=1，所以當n≥2時 ，

同理可知： ，

故Sn=b1+b2+…+bn ，

，

綜上：

【解析】（1）通過a1=1， 計算求出a2 ， a3的值；一方面，利用 整理可知a2n+1﹣2與a2n﹣1﹣2同號，進而可知a2n+1＜2；另一方面，通過作差計算可知a2n+1＞a2n﹣1 ， 從而可得結論；（2）利用 計算可知 ，結合1≤a2n﹣1＜a2n+1＜2可知 ，利用累乘法可知 ≤bn＜ ，進而利用等比數列的求和公式計算即得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．