Question

已知下列四個命題：
①若函數y=f（x）在x_°處的導數f′（x₀）=0，則它在x=x₀處有極值；
②若不論m為何值，直線y=mx+1均與曲線

x2

4

+

y2

b2

=1有公共點，則b≥1；
③若x、y、z∈R+，a=x+

1

y

，b=y+

1

z

，c=z+

1

x

，則a、b、c中至少有一個不小于2；
④若命題“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題，則|a+1|＞2；
以上四個命題正確的是

③④

（填入相應序號）

Answer 1

分析：判斷命題①，可以舉一個例子，如函數f（x）=x³，在x=0處的導數為0，但函數在x=0處無極值；
命題②中的直線過定點（0，1），保證b²≥1，即b≥1或b≤-1的值，都能使點（0，1）在曲線上或其內部；
命題③采用反證法，假設a、b、c都小于2，三個式子相加后重新組合，運用基本不等式可得到與假設矛盾；
命題④轉化成“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，然后求a的范圍問題直接求解復雜，考慮絕對值的幾何意義解決．

解答：解：命題①，設函數f（x）=x³，f^′（0）=0，函數f（x）在x=0處無極值，所以命題①不正確．
命題②，不論m為何值，直線y=mx+1恒過定點（0，1），所以只要b²≥1，點（0，1）一定在橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1內部，所以
直線y=mx+1均與曲線

x2

4

+

y2

b2

=1有公共點，此時b≥1或b≤-1，所以命題②不正確．
命題③，假設a、b、c均小于2，即x+

1

y

＜2，y+

1

z

＜2，z+

1

x

＜2，則x+

1

y

+y+

1

z

+z+

1

x

＜6，
而x+

1

y

+y+

1

z

+z+

1

x

=(x+

1

x

)+(y+

1

y

)+(z+

1

z

)≥2

x• 1 x

+2

y• 1 y

+2

z• 1 z

=6（當且僅當x=y=z=1時等號成立），與假設矛盾，所以，若x、y、z∈R+，a=x+

1

y

，b=y+

1

z

，c=z+

1

x

，則a、b、c中至少有一個不小于2成立，故命題③正確．
命題④，若命題“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題，即“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，結合絕對值的幾何意義，|x-a|+|x+1|看作數軸上實數x對應的動點X到兩實數a和-1所對應定點的距離，若實數a對應的點到實數-1對應點的距離大于2，即|a+1|＞2，則數軸上不存在實數x對應的動點到a和-1所對應定點的距離和小于等于2，即“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，故命題④正確．
故答案為③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，解答的關鍵是每個命題的命題意圖，命題①說明了導函數為0的點不一定是極值點；命題②考查了數形結合的思想方法；命題③考查了含有“至少”、“至多”、“存在”等一系列問題的常用證法（反證法）；命題④體現了轉化法這種數學思想方法．該題涉及知識點多，處理方法靈活．