Question

【題目】對于函數，若關系式中變量是變量的函數，則稱函數為可變換函數.例如：對于函數，若，則，所以變量是變量的函數，所以是可變換函數.

（1）求證：反比例函數不是可變換函數；

（2）試判斷函數是否是可變換函數并說明理由；

（3）若函數為可變換函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】分析：（1）利用反證法，假設是可變換函數，，利用關變量的一元二次方程無解但導出矛盾，從而可得結論；（2）利用必須有交點，而連續且單調遞減，值域為，連續且單調遞增，值域為，進而可得結論；. （3），則恒大于，即無交點，不滿足題意；若，則必定有交點，即方程有解，從而可得結果.

詳解：（1）假設是可變換函數，則，

因為變量是任意的，故當時，此時有關變量的一元二次方程無解，

則與假設矛盾，故原結論正確，得證；

（2）若是可變換函數，則，

則有關的兩個函數：必須有交點，而連續且單調遞減，值域為，

連續且單調遞增，值域為，所以這兩個函數與必定有交點，

即：變量是變量的函數，所以是可變換函數；

（3）函數為可變換函數，則，

若，則恒大于，即無交點，不滿足題意；

若，則必定有交點，即方程有解，從而滿足題意.