Question

設是滿足不等式的自然數的個數，其中．
（Ⅰ）求的值；
(Ⅱ) 求的解析式；
（Ⅲ）記，令，試比較與的大小．

Answer 1

（Ⅰ）
(Ⅱ)
（Ⅲ）當n=2,4時,;當n=3時,;當n=1或時;---14分

（Ⅰ）當時，原不等式即，解得，
   ∴ 即------------------------------2分
(Ⅱ)原不等式等價于
……………………………………………..4分
………………………………………………………..6分
∴……8分
（Ⅲ）∵
n=1時，；n=2時， 
n=3時，；n=4時，
n=5時，；n=6時，…………………………………………9分
猜想：時 下面用數學歸納法給出證明
①當n=5時，，已證…………………………………………………….10分
②假設時結論成立即
那么n=k+1時，

在范圍內，恒成立,則，即
由①②可得，猜想正確，即時，…………………………………..  13分
綜上所述：當n=2,4時,;當n=3時,;當n=1或時;---14分