Question

已知函數f(x)=

1

3

ax3+  

1

2

bx2+cx
（1）若函數f（x）有三個零點x₁，x₂，x₃，且x1+x2+x3=

9

2

，x1x3=-12，且a＞0，求函數f（x）的單調區間；
（2）若f(1)=-

1

2

a，且3a＞2c＞2b，試問：導函數f^′（x）在區間（0，2）內是否有零點，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為 f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，因為x₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，使用根與系數的關系，得出b，c與a的關系式，從而得到f（x）的 解析式及f'（x）的解析式，由f'（x）＜0求出減區間．
（2）求出 f′(1)=-

1

2

a，f'（0）=c，f'（2）=a-c，當c＞0時 f'（x）在區間（0，1）內至少有一個零點，當c≤0時，f'（x）在區間（1，2）內至少有一零點．

解答：解：（1）因為 f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，又 x1+x2+x3=

9

2

，x1x3=-12，
則 x2=0，x1+x3=

9

2

．
因為x₁，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的兩根，則 -

3b

2a

=

9

2

，

3c

a

=-12．即b=-3a，c=-4a．
所以f(x)=

1

3

ax3-

3

2

ax2-4ax． 
∴f'（x）=a（x²-3x-4），由x²-3x-4＜0，得-1＜x＜4．
故f（x）的單調遞減區間是（-1，4），單調遞增區間是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因為f'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，所以 a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．
因為3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是 f′(1)=-

a

2

＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①當c＞0時，因為 f′(0)=c＞0，f′(1)=-

a

2

＜0，則f'（x）在區間（0，1）內至少有一個零點．
②當c≤0時，因為 f′(1)=-

a

2

＜0，f′(2)=a-c＞0，則f'（x）在區間（1，2）內至少有一零點．
故導函數f'（x）在區間（0，2）內至少有一個零點．

點評：本題考查利用導數判斷函數的單調性，函數的零點的判斷，二次函數的性質與不等式性質的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．