Question

已知cos(

π

4

+x)=

3

5

，

17π

12

＜x＜

7π

4

，求

sin2x+2sin2x

1-tanx

的值．

Answer 1

分析：根據x的范圍求出

π

4

+x的范圍，由cos（

π

4

+x）的值利用同角三角函數間的基本關系求出sin（

π

4

+x）的值，并利用誘導公式及二倍角的余弦函數公式求出sin2x的值；把所求的式子的分子的第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡后與第二項提取2sinx，把分母利用同角三角函數間的基本關系化簡，然后分子分母都提取

2

，把分子分母都化為一個角的正弦或余弦函數，將各自的值代入即可求出原式的值．

解答：解∵

17π

12

＜x＜

7π

4

∴

5π

3

＜x+

π

4

＜2π，
又∵cos(

π

4

+x)=

3

5

∴sin(x+

π

4

)=-

1-cos2(x+ π 4 )

=-

4

5

，
sin2x=-cos(

π

2

+2x)=1-2cos2(

π

4

+x)=

7

25

∴

sin2x+2sin2x

1-tanx

=

2sinx(cosx+sinx)

cosx-sinx cosx

=

sin2x• 2 •sin( π 4 +x)

2 •cos( π 4 +x)

=

sin2x•sin( π 4 +x)

cos( π 4 +x)

=

7 25 ×(- 4 5 )

3 5

=-

28

75

點評：考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦函數公式化簡求值，是一道中檔題．學生做題時應注意考慮角的范圍．