Question

（12分）定義在上的函數，，當時，.且對任意的有。
（1）證明：；
（2）證明：對任意的，恒有；
（3）證明：是上的增函數；
（4）若，求的取值范圍。

Answer 1

（1）令即可證明（2）分證明即可
（3）利用單調性定義即可證明（4）

解析試題分析：（1）證明：令，，又，
所以.                                                                      ……2分
（2）證明：由已知當時，，由（1）得，
故當時，成立,
當時， ，所以，
而，所以,
可得
綜上：對任意的，恒有成立.                                             ……6分
（3）證明：設，則，

而，，
即，是上增函數得證。                                              ……10分
(4)由，可得，
又因為是上增函數，所以，解得，
所以：所求的取值范圍.                                                     ……12分
考點：本小題主要考查抽象函數的求值，單調性，抽象不等式的求解.
點評：求解抽象函數問題，主要的方法是賦值法，證明抽象函數的單調性只能用定義，證明時要盡量化簡到最簡單.