Question

如圖所示，正在亞丁灣執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的某導(dǎo)彈護(hù)衛(wèi)艦，突然收到一艘商船的求救信號(hào)，緊急前往相關(guān)海域．到達(dá)相關(guān)海域O處后發(fā)現(xiàn)，在南偏西20°、5海里外的洋面M處有一條海盜船，它正以每小時(shí)20海里的速度向南偏東40°的方向逃竄．某導(dǎo)彈護(hù)衛(wèi)艦當(dāng)即施放載有突擊隊(duì)員的快艇進(jìn)行攔截，快艇以每小時(shí)30海里的速度向南偏東θ°的方向全速追擊．請(qǐng)問：快艇能否追上海盜船？如果能追上，請(qǐng)求出sin（θ°+20°）的值；如果未能追上，請(qǐng)說明理由．（假設(shè)海面上風(fēng)平浪靜、海盜船逃竄的航向不變、快艇運(yùn)轉(zhuǎn)正常無故障等）

Answer 1

分析：先假設(shè)經(jīng)過t小時(shí)在N處追上海盜船，在△OMN中由余弦定理可得t的關(guān)系式，解得t＞0，進(jìn)而推斷快艇能追上海盜船，再利用正弦定理求得sin（θ°+40°）的值．

解答：解：假設(shè)經(jīng)過t小時(shí)在N處追上海盜船．
在△OMN中，|OM|=5，|MN|=20t，|ON|=30t，∠OMN=120°．
由余弦定理有900t²=400t²+25-2×5×20tcos120°=400t²+25+100t，
化簡(jiǎn)得20t²-4t-1=0，解之得t=

1+ 6

10

＞0，∴快艇能追上海盜船．
由正弦定理有

|MN|

sin(θ°+20°)

=

|ON|

sin120°

，
∴sin（θ°+20°）=

20t

30t

×

3

2

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．